等差数列（1）教学设计
乌赞中学 张凯榕
一. 教学背景分析:
本节内容是在学习了数列的一些基本知识之后，学生探究特殊数列的开始，是《数列》这一章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是《数列》的重点内容。在高考中也是重点考查的内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，同时也是培养学生数学能力的良好题材，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
二．教学策略：探究式
三．教学目标：
(1)理解等差数列的概念。
(2)掌握等差数列的通项公式。
四. 教学重难点：
重点：等差数列的概念、等差数列的通项公式。
难点：等差数列的概念、通项公式的应用。
五. 教学过程：
(一).导入新课：
下面，我们来观察几个生活当中的数列：
1.引入三个生活问题中的数列：
引例1. 研究发现我国儿童年龄在2-12周岁之间，其标准的身高、体重大致成规律性变化：
年龄 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | 11 | 12 |
身高（cm） | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 | … | 147 |
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体重（kg） | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | … | 30 |
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你能预测12岁儿童的身高和体重吗？
学生口答：身高为154
你是如何预测出来的？
根据已有数的规律，每两个相邻数之间相差7，而且后一个数总比前一个数多7.
体重又是多少呢？
学生口答：32，（为什么？）因为每两个相邻数之间相差2，而且后一个数总比前一个数多2.
现在，我将所得到的这两个数列标记为数列（1），数列（2）:
（1）84，91，98，105，112，…，147，154.
（2）12，14，16，18，20，…，30，32
继续看下一个数列：
引例2. 1896年，雅典举行了第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。观察奥运会举办的年份所对应的数列：
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（ ）
你能预测出第31届奥运会的时间吗？
学生口答：2016
如何预测出来的？
根据已有数的规律，每两个相邻数之间相差4，而且后一个数总比前一个数多4.
观察以上三个数列，请问：它们有什么共同特点？
学生:从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.
我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列。
(二).新课讲解：
1.等差数列的定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示.
提问：你能说出上面三个数列的公差是多少吗？
学生口答：分别为7，2，4
怎么算出来的？
学生口答：用相邻两项的后项减去前项
为了今后表示方便，我们将等差数列的定义用数学符号记作：
根据学到的定义，请你;
练习1：判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项和公差d, 如果不是，说明理由。（学生口答）
（1）1，3，5，7，9 … (是，=1,d=2)
（2）9，6，3，0，-3 … (是，=9,d=-3)
（3）-8，-6，-4，-2，0 … (是，=-8,d=2)
（4）3，3，3，3，3 … (是，=3,d=0)
… (不是)
(6) 15,12,10,8,6… (不是)
根据这个题目来看，怎样判断一个数列是否为等差数列呢?
说明：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：看是不是同一个常数。
提问：请你继续观察练习1中的四个等差数列，你能否总结出：每个数列中，公差d的正负与数的增减情况有什么关系？
说明：由等差数列的定义式可知:
当 d = 0 时，，数列是常数列；
当 d > 0 时，，数列是递增数列；
当 d < 0 时，，数列是递减数列.
2.请试着找规律填空：
8，5，2，-1，（-4），(-7)，……并思考：在这个数列中=？
可以逐个依次减3得到，但对于呢？都逐个列出的话，就不太现实了，这就需要我们寻找出一个一劳永逸的办法。我们先将这个问题抽象出来：
问题：如果已知一个等差数列的首项是，公差是 d ，那么这个数列的通项能求出来吗？
分析1：根据等差数列的定义：
∴
……
你能猜测出多少吗？
学生猜测：
这样得到的：,这个式子称为等差数列的通项公式。
注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习.
下面我们引入第二种方法来证明这个通项公式：，
分析2：根据等差数列的定义：
……
依次标记为（1），（2），（3）......(n-1)
将这n-1个等式左右两边分别相加 ，左右分别是什么样？
由此得到：
这种求通项公式的方法叫累加法。是探讨数列通项的一种常见方法。后续的学习还会继续研究。
我们在这里的要求是;需要你记住这个公式，它是解决等差数列通项公式的主要方法。
说明：公式中，有四个量: 知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 .
下面，我们通过几个例子来看这个公式的用法,首先解决在前面提出的问题：
3.例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
分析：已知什么？要求什么？已知首项要求。
解：⑴∵
∴
说明：这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知道求。体现了等差数列通项公式中“知三求一”的方程思想。
例1 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
分析:本题是第（1）题的逆向问题，已知什么？要求什么？知道求n.
抽答学生的解题思路
解：⑵∵
∴
即 -401是数列的第100项。
说明：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方程有正整数解，则它就是，否则不是。
根据刚才学到的办法，请你完成下面的练习：
练习2：（学生完成后，抽答学生的解答过程，核对结果）
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
答案：
学生解：根据题意可知：=3,d=7－3=4.
∴该数列的通项公式为：=3 （n－1）?4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）
∴=4?4－1=15, =4?10－1=39.
2. -20是不是等差数列…中的项；
答案：
学生解：由题意可知：=0,d=－ ∴此数列的通项公式为：=－n ,
令－n =－20,解得n=
因为－n =－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
例2.
解：由等差数列通项公式得:
解得：
说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就可以确定这个数列.
具体的方法是什么？我们先来探讨这样一个问题;
探究：已知等差数列{}中，公差为d，则与 (n , m ∈ N*) 有什么关系？
解：由等差数列的通项公式知
①－② -=(n-m)d
∴= (n-m)d
这是等差数列通项公式的推广形式 。
它与前一个通项公式= (n-1)d差不多，但又有所不同，区别在什么地方？（把1换成了m）.这就说明知道等差数列的任意一项，m,d，也可以求得通项。
另外，当m≠n时，公式还可变形为：d=
这适用于知道等差数列的任意两项求公差。但要注意：分子上的脚标顺序要与分母上的项数一致，不能错位。
请你用这种新的工具回头重做例2：
例2.
解2：
练习3:已知等差数列{}中，=10, =19,求
（总结出学生的两种不同的解答方法）
学生解1：依题意得
解之得：
∴
学生解2：
(三).课时小结:
通过本节课的学习，你有什么收获？
1.等差数列的定义：-=d(n≥1);
2.等差数列的通项公式：= (n-1)d( n≥1) .
3.等差数列的通项公式的推广：= (n-m)d
(四).课后作业
1.教材第40页 习题2.2 A组 1，4
2.思考：
某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
五. 教学反思：
本节课是在学生学习了数列的一些基本知识后，转入的对特殊数列之一——等差数列的学习。它是高中数学的一个重要知识点，在日常生活中也有着广泛的应用，因此，本节课，先引出生活中的几个实例，让学生分析,观察特点，目的是希望学生能通过对日常生活中实际问题的分析，建立等差数列模型，在这个过程中形成等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式。通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为求解问题提供了有力的工具。通项公式的推导过程可以培养学生观察、分析、归纳、推理的能力 。由通项公式= (n-1)d( n≥1)进一步变形得到= (n-m)d，目的是开阔学生的解题思路。几个例题是为了加强对等差数列概念的理解，对通项公式以及变式的掌握应用。例题之后的练习是为了反馈学生的学习情况。在课堂的最后环节通过学生作小节，可以培养学生自主学习、勇于探索的学习习惯。
