1.1.1 任意角
教学目标：
1、（1）理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.
（2）能在0到360范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合.
2、（1）按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条直线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
（2）所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合
S＝{ β | β = α k?360 ? ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和
重点难点
教学重点:将0度—360度范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合。
任意角概念的理解，象限角的集合的书写。
教学难点:用集合来表示终边相同的角.区间角的集合的书写。
课时安排
1课时
教学过程：
一、(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问题。
二、 推进新课
新知探究
提出问题
①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?
②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?
角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.
我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.
提出问题
①能否以同一条射线为始边作出下列角:210?,-45?,-150?.
②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 0角又是什么意思?
教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.
我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
可以借此进一步设问:
锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角第几象限角?反之如何?
将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?
提出问题
①在直角坐标系中标出210?,-150?的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328?,-32?,-392?角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?
②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?
为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32度角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32?角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.
例1 在0—360范围内,找出与-950?12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
解:-950?12′=129?48′-3?360′,所以在0?—360?的范围内,与-950?12′角终边相同的角是129?48′,它是第二象限的角.
例2 写出终边在y轴上的角的集合.
让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师板书出来.并强调数学的简捷性与逻辑性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.
图2
解:在0—360度范围内,终边在y轴上的角有两个,
即90度和270度角,如图2.
因此,所有与90?的终边相同的角构成集合
S1={β｜β=90? k?360?,k∈Z}.
而所有与270?角的终边相同的角构成集合
S2={β｜β=270? k?360?,k∈Z}.
于是,终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2
={β｜β=90? 2k*180?,k∈Z}∪{β｜β=90 180 2k*180?,k∈Z}
={β｜β=90? 2k*180?,k∈Z}∪{β｜β=90? (2k 1)?180?,k∈Z}
={β｜β=90? n*180?,n∈Z}.
变式训练
①写出终边在x轴上的角的集合. (总结终边在一条直线上的角相差180?的整数倍)
②写出终边在坐标轴上的角的集合. 终边在坐标轴或者经过原点的两条相互垂直的直线上的角相差90?的整数倍
答案:①S={β｜β=(2n 1)?180?,n∈Z}.
②S={β｜β=n?90?,n∈Z}.
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360?≤β<720?的元素β写出来.
图3
解:如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45?,在0?—360?范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45?和225?,因此,终边在直线y=x上的角的集合
S={β｜β=45? k?360?,k∈Z}∪{β｜β=225? k?360?,k∈Z}.
S中适合-360?≤β<720?的元素是:
45?-2?180?=-315?,
45?-1?180?=-135?,
45? 0?180?=45?,
45? 1?180?=225?,
45? 2?180?=405?,
45? 3?180?=585?.
例4 写出在下列象限的角的集合:
①第一象限; ②第二象限;
③第三象限; ④第四象限.
解:①终边在第一象限的角的集合:{β｜n?360?<β<n?360? 90?,n∈Z}.
②终边在第二象限的角的集合:{β｜n?360? 90?<β<n?360? 180?,n∈Z}.
③终边在第三象限的角的集合:{β｜n?360? 180?<β<n?360? 270?,n∈Z}.
④终边在第四象限的角的集合:{β｜n?360? 270?<β<n?360? 360?,n∈Z}.
课堂小结
本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零
角是射线没有作任何旋转，正角是按逆时针方向旋转形成的角，零角是射线没有任何旋转形成的角，负角是按顺时针方向旋转形成的角。一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限。
终边相同的角的表示有两方面的内容:
(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β｜β=k?360? α,k∈Z};
(2)在0?—360?内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360?,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.
数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
作业
①课本习题1.1 A组2、4、6.
②预习下一节:弧度制.
板书设计：
