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3.1　不等关系与不等式

3.1.1　不等关系与不等式（一）

从容说课

通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.

根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.

教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；

2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.

教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.

教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；

2.了解不等式或不等式组的实际背景；

3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

师 日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？

生 实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.

生 实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xa＜xb.

(老师协助画出数轴草图)　         

生 实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

实例4:两点之间线段最短.

实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)

推进新课

师 同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.

(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)

实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.

［过程引导］

师 能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?

生 可以用不等式或不等式组来表示.

师 什么是不等式呢?

生 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.

（老师给出一组不等式-7＜-5；3 4＞1 4；2x≤6；a 2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）

师 能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.

（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）

［合作探究］

生 我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.

师 说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?

（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）

生 上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.

生 可以表示为x≥0.

（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）

（老师顺便画出三角形草画）

生 |AC| |BC|＞|AB|

(只需结合上述三角形草图).

生 |AB| |BC|＞|AC|、|AC| |BC|＞|AB|、|AB| |AC|＞|BC|.

生 |AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.

生 如果用v表示速度，则v≤40 km/h.

生 f≥2.5%或p≥2.3%.

(此时,一片安静,同学们在积极思考)

生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为

生 也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

师 同学们看这两位同学的观点是否正确?

生 (齐答)大家齐声说，都可以.

师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达.

课堂练习

教科书第83页练习1、2.

(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）

【问题1】 设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点.

［活动与探究］

师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.

(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨)

［方法引导］

师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?

(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A作AC⊥平面α于点C，则d=|AC|≤|AB|.

师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形.

师 请同学们继续来处理问题2.

［合作探究］

【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?

生 可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本.

师 那么销售量变为多少呢？如何表示？

生 可以表示为万本，则总收入为万元.

〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为x≥20〕

师 是否有同学还有其他的解题思路？

生 可设杂志的单价提高了0.1n元，(n∈N *)，

（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）

师 为什么可以这样设？

生 我只考虑单价的增量.

师 很好，请继续讲.

生 那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5 0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5 0.1n)(8-0.2n)≥20.

师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.

（留下让学生思考的时间）

师 请同学们继续思考第三个问题.

［合作探究］

【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?

师 假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.

生 截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.

生 截得两种钢管的数量都不能为负.

师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？

生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.

生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N.

师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.

课堂练习

练习：若需在长为4 000 mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?

分析：设截出长为698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数学化地表示出来就是：

（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）

课堂小结

师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？

生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.

生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.

生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.

师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.

（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）

布置作业

第84页习题3.1A组4、5.

板书设计

不等关系与不等式（一）

实例                            方法引导                        方法归纳

如何用不等式或不等式组表示        实例剖析（知识方法应用）         小结

实际问题中不等量关系？            示范解题