整式的乘法与因式分解
14.2.2 完全平方公式（一）
14．2．2 完全平方公式
王文龙
教学目标
1、完全平方公式的推导及其应用，完全平方公式的几何解释。
2、利用去括号法则得到添括号法则，培养学生逆向思维能力。培养学生动手能力。
教学重难点
1、重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。
2、难点：灵活运用完全平方公式进行计算。
教学过程
一、情境导入
1．教师引导学生复习平方差公式．
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式．
二、合作探究
探究点一：完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算
例1：利用完全平方公式计算：
(1)(－3m－4n)2；
(2)(－3a＋b)2.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法总结：完全平方公式：(a?b)2＝a2?2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
【类型二】 构造完全平方式
例2：如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝?2?6x?5y，∴m＋1＝?60，∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．思维细腻些。
【类型三】 运用完全平方公式进行简便运算
例3：利用乘法公式计算：
(1)982－101 99；
(2)20162－2016 4030＋20152.
解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2 2016 2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.
方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值
例4：已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代数式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，将x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化简(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；
(2)∵(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋[(x－y)2－z2]－xz－yz＝x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz＋x2＋y2－xy－z2－xz－yz＝x2＋y2，又∵x2＋y2＝20，∴原式＝20.
方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x－y)2＝x2＋y2－2xy，x2＋y2＝(x－y)2＋2xy.
【类型五】 完全平方公式的几何背景
例5:我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.
方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
探究点二：添括号后运用完全平方公式
添括号的方法
例6：计算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则．
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2.
方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a?b)2的形式．注意a，b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．
三、板书设计
完全平方公式
1．探究公式：(a?b)2＝a2?2ab＋b2；
2．完全平方公式的几何意义；
3．利用完全平方公式计算．
课后反思：
