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2.1　数列的概念与简单表示法

第1课时　数列的概念及简单表示法

1．数列的概念及一般形式

思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？

(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？

[提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．

2．数列的分类

3.数列的通项公式

如果数列{a_n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

4．数列与函数的关系

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：

思考：数列的通项公式a_n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？

[提示]　

如图，数列可以看成以正整数集N^*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，a_n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．

1．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为(　　)

A．a_n＝n　　 B．a_n＝n＋1

C．a_n＝n＋2 D．a_n＝2n

C　[经验证可知，它的一个通项公式为a_n＝n＋2.]

2．600是数列1?2，2?3，3?4，4?5，…的第________项．

24　[a_n＝n(n＋1)＝600＝24?25，所以n＝24.]

3．数列{a_n}满足a_n＝log₂(n²＋3)－2，则log₂3是这个数列的第________项．

3　[令a_n＝log₂(n²＋3)－2＝log₂3，

解得n＝3.]

4．数列1，2, ，，，…中的第26项为________．

2　[因为a₁＝1＝，a₂＝2＝，

a₃＝，a₄＝，a₅＝，所以a_n＝，

所以a₂₆＝＝＝2.]

【例1】　已知下列数列：

①2 011，2 012，2 013，2 014，2 015，2 016；

②1，2(1)，4(1)，…，2n－1(1)，…；

③1，－3(2)，5(3)，…，2n－1(（－1）n－1?n)，…；

④1，0，－1，…，sin2(nπ)，…；

⑤2，4，8，16，32，…；

⑥－1，－1，－1，－1.

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．

①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]

1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：

(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；

(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；

(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素与顺序无关(即无序性)；

(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．

2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．

1．给出下列数列：

①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；

②无穷多个构成数列， ， ， ，…；

③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．

①　②③　①　②　③　[①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]

【例2】　写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：

(1)－1，2(1)，－3(1)，4(1)；

(2)，3，，；

(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；

(4)3，5，3，5.

思路探究：①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？

[解]　(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数， 正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为a_n＝(－1)ⁿ?n(1).

(2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为a_n＝＝.

(3)原数列可变形为10(1)，102(1)，103(1)，104(1)，…，故数列的一个通项公式为a_n＝1－10n(1).

(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为a_n＝5　（n为偶数）(3　（n为奇数）).此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为2(3＋5)＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为a_n＝4＋(－1)ⁿ.

1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相邻项的变化特征；

(3)拆项后的特征；

(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．

2．观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)ⁿ或(－1)^n＋1来调整．

2．写出下列数列的一个通项公式：

(1)0，3，8，15，24，…；

(2)1，－3，5，－7，9，…；

(3)12(1)，23(2)，34(3)，45(4)，…；

(4)1，11，111，1 111，….

[解]　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a_n＝n²－1(n∈N^*)．

(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a_n＝(－1)^n＋1(2n－1)(n∈N^*)．

(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为n＋1(n)，故所求的数列的一个通项公式为a_n＝n＋n＋1(n)＝n＋1(n2＋2n)(n∈N^*)．

(4)原数列的各项可变为9(1)?9，9(1)?99，9(1)?999，9(1)?9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为a_n＝10ⁿ－1，所以原数列的一个通项公式为a_n＝9(1)(10ⁿ－1)(n∈N^*)．

[探究问题]

1．数列2(1)，4(3)，8(7)，16(15)，32(31)，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？256(255)是否为该数列中的一项？为什么？

[提示]　由数列各项的特点可归纳出其通项公式为a_n＝2n(2n－1)，当n＝7时，a₇＝27(27－1)＝128(127)，若256(255)为该数列中的一项，则2n(2n－1)＝256(255)，解得n＝8，所以256(255)是该数列中的第8项．

2．已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝－n²＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．

[提示]　

由数列与函数的关系可知，数列{a_n}的图象是分布在二次函数y＝－x²＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．

【例3】　已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝3n²－28n.

(1)写出此数列的第4项和第6项；

(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？

思路探究：(1)将n＝4，n＝6分别代入a_n求出数值即可；

(2)由3n²－28n＝－49和3n²－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．

[解]　(1)a₄＝3?4²－28?4＝－64，

a₆＝3?6²－28?6＝－60.

(2)由3n²－28n＝－49解得n＝7或n＝3(7)(舍去)，

所以－49是该数列的第7项；

由3n²－28n＝68解得n＝－2或n＝3(34)，均不合题意，所以68不是该数列的项．

1．(变结论)若本例中的条件不变，

(1)试写出该数列的第3项和第8项；

(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？

[解]　(1)因为a_n＝3n²－28n，

所以a₃＝3?3²－28?3＝－57，a₈＝3?8²－28?8＝－32.

(2)令3n²－28n＝20，解得n＝10或n＝－3(2)(舍去)，

所以20是该数列的第10项．

2．(变条件，变结论)若将例题中的“a_n＝3n²－28n”变为“a_n＝n²＋2n－5”，试判断数列{a_n}的单调性．

[解]　∵a_n＝n²＋2n－5，

∴a_n＋1－a_n＝(n＋1)²＋2(n＋1)－5－(n²＋2n－5)

＝n²＋2n＋1＋2n＋2－5－n²－2n＋5＝2n＋3.

∵n∈N^*，∴2n＋3>0，∴a_n＋1>a_n.

∴数列{a_n}是递增数列．

1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．

2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．

3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N^*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．

1．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．

2．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.

1．判断正误

(1)数列1，1，1，…是无穷数列． (　　)

(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列． (　　)

(3)有些数列没有通项公式． (　　)

[答案]　(1)√　(2)?　(3)√　

[提示]　(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．

(2)错误．虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．

(3)正确．某些数列的第n项a_n和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．

2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　)

A．11　　　　 B．12

C．13 D．14

C　[观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.]

3．已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第________项．

11　[令＝8，得n＝11.]

4．已知数列9n2－1(9n2－9n＋2).

(1)求这个数列的第10项；

(2)101(98)是不是该数列中的项，为什么？

(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．

[解]　设f(n)＝9n2－1(9n2－9n＋2)

＝（3n－1）（3n＋1）(（3n－1）（3n－2）)＝3n＋1(3n－2).

(1)令n＝10，得第10项a₁₀＝f(10)＝31(28).

(2)令3n＋1(3n－2)＝101(98)，得9n＝300.

此方程无正整数解，所以101(98)不是该数列中的项．

(3)证明：∵a_n＝3n＋1(3n－2)＝3n＋1(3n＋1－3)＝1－3n＋1(3)，

又n∈N^*，

∴0<3n＋1(3)<1，∴0<a_n<1.

即数列中的各项都在区间(0，1)内．