1.1.1  任意角

三维目标

   1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.

   2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.

   3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.

重点难点

教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.

教学难点:用集合来表示终边相同的角.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

图1

 (情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问题.

  推进新课

新知探究

提出问题

①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?

②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?

③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?

   我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.

   如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,那么α=0°.

提出问题

①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.

②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思?

      今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.

可以借此进一步设问:

锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?

将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?

提出问题

①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?

②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?

     为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.

   至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.

应用示例

例1  在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.

解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.

例2  写出终边在y轴上的角的集合.

   让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.

图2

   解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,

即90°和270°角,如图2.

因此,所有与90°的终边相同的角构成集合

S₁={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.

而所有与270°角的终边相同的角构成集合

S₂={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.

于是,终边在y轴上的角的集合

S=S₁∪S₂

={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}

={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}

={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.

变式训练

①写出终边在x轴上的角的集合.

②写出终边在坐标轴上的角的集合.

答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.

②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.

例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.

图3

解:如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合

S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.

S中适合-360°≤β<720°的元素是:

45°-2×180°=-315°,

45°-1×180°=-135°,

45°+0×180°=45°,

45°+1×180°=225°,

45°+2×180°=405°,

45°+3×180°=585°.

例4 写出在下列象限的角的集合:

①第一象限;                ②第二象限;

③第三象限;                ④第四象限.

解:①终边在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}.

②终边在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°,n∈Z}.

③终边在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°,n∈Z}.

④终边在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°,n∈Z}.

   点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.

课堂小结

以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结:

让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:

本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.

数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.

作业

①课本习题1.1  A组1、3、5.

②预习下一节:弧度制.

数学教学设计是教师在实施数学教学之前，对教学行为进行周密思考与安排的过程，是对教什么，如何教，学生如何学，要达到什么目标要求等教学要素进行系统地分析与认真研究的过程;是对如何达到教学目标，如何组织教学活动过程，以及在活动过程中将采取什么策略、方案进行的一系列系统的设计与安排。在本次教研活动中，教师们初步掌握了网络教研的方法，做了很多尝试，也获得了许多教学设计的新知识。教师们一致认为，在设计教学目标，组织教学活动等方面，应面向全体学生，突出学生的主体性，充分发挥学生的主观能动性，让学生自主参与探究问题，不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，而应把数学知识方法贯彻到每一次探索活动中去，使学生在“观察、联想、类比、归纳、猜想和证明”等一系列探究过程中，体验到成功的快乐，从而激发学生的创新欲望，体会到数学思想方法的作用。教学组织形式是教学设计关注的一个重要问题。如果我们能充分挖掘支撑这一核心目标的背景知识，透过选取、利用这些背景知识组成指向本节课知识核心的、极富穿透力和启发性的学习材料，提炼出本节课的研究主题，那么就需要我们不断提高业务潜力和水平。数学教学设计的过程，既是教学内容分析、学情分析的过程，也是数学教学目标分析的过程;既是教学策略设计的过程，也是教学过程的设计过程，同时也要关注教学反思的问题。随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展。