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学案1　圆周运动

[学习目标定位] 1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动.2.理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算.3.知道线速度与角速度的关系，知道线速度与周期、角速度与周期的关系．

一、匀速圆周运动

1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．

2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．

二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期

1．线速度：质点做匀速圆周运动通过的弧长Δs和所用时间Δt的比值叫线速度．即v＝Δt(Δs).

2．角速度：连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt的比值叫角速度，即ω＝Δt(Δφ).

3．周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期．

三、线速度、角速度、周期之间的关系

1．线速度与周期的关系：v＝T(2πr).

2．角速度与周期的关系：ω＝T(2π).

3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.

一、线速度

[问题设计]

图1

　如图1所示为自行车的车轮，A、B为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：

(1)A、B两点的运动方向如何？

(2)A、B两点在相等的时间内哪个沿圆弧运动的轨迹长？哪个运动得快？

(3)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？

答案　(1)两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向．

(2)B运动的轨迹长，B运动得快．

(3)B运动的速率不变，但B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动．

[要点提炼]

1．线速度

(1)定义式：v＝Δt(Δs).

如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度．此时Δs的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向．

(2)线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．

(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．

2．匀速圆周运动的特点

(1)线速度的大小处处相等．

(2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”．

二、角速度和周期

[问题设计]

图1中A、B两个质点转一周的时间相同吗？哪个绕圆心转动得快？只用线速度描述圆周运动能全面说明问题吗？

答案　A、B两个质点转一周的时间相同，绕圆心转动得一样快．不能．

[要点提炼]

图2

1．角速度：半径转过的角度Δφ与所用时间Δt的比值，即ω＝Δt(Δφ)(如图2所示)．国际单位是弧度每秒，符号是rad/s.

2．转速与周期

(1)转速n：做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数，常用符号n表示．

(2)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用符号T表示．

(3)转速与周期的关系：若转速的单位是转每秒(r/s)，则转速与周期的关系为T＝n(1).

三、描述圆周运动的各物理量之间的关系

1．线速度与周期的关系：v＝T(2πr).

2．角速度与周期的关系：ω＝T(2π).

3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.

四、同轴转动和皮带传动

[问题设计]

请同学们分析下列三种传动方式的特点，并回答有关问题．

1．同轴转动

图3

如图3所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，当圆盘转动时，A点和B点沿着不同半径的圆周运动，它们的半径分别为r和R.此传动方式有什么特点，A、B两点的角速度、线速度有什么关系？

答案　同轴转动的物体上各点的角速度相同，即ω_A＝ω_B.线速度的关系：vB(vA)＝R(r).

2．皮带(齿轮)传动

(1)皮带传动

图4

如图4所示，A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．

此传动方式有什么特点？A、B两点的线速度、角速度有什么关系？

答案　两个轮子边缘处及传送带上各点的线速度相同，即v_A＝v_B，角速度的关系：ωB(ωA)＝R(r).

(2)齿轮运动

图5

如图5所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮的轮齿啮合．两个齿轮在同一时间内转过的齿数相等，但它们的转动方向恰好相反，即当A顺时针转动时，B逆时针转动．r₁、r₂分别表示两齿轮的半径，请分析A、B两点的线速度、角速度的关系，与皮带传动进行对比，你有什么发现？

答案　线速度、角速度的关系为v_A＝v_B，ωB(ωA)＝r1(r2)，与皮带传动中两轮边缘的各物理量的关系相同．

[要点提炼]

图6

1．同轴转动(如图6所示)

(1)角速度(周期)的关系：ω_A＝ω_B，T_A＝T_B.

(2)线速度的关系：vB(vA)＝R(r).

2．皮带(齿轮)传动(如图7所示)

(1)线速度的关系：v_A＝v_B

(2)角速度(周期)的关系：ωB(ωA)＝R(r)、TB(TA)＝r(R).

图7

一、圆周运动的各物理量的关系

例1　做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：

(1)线速度的大小；

(2)角速度的大小；

(3)周期的大小．

解析　(1)依据线速度的定义式v＝Δt(Δs)可得

v＝Δt(Δs)＝10(100) m/s＝10 m/s.

(2)依据v＝ωr可得

ω＝r(v)＝20(10) rad/s＝0.5 rad/s.

(3)T＝ω(2π)＝0.5(2π) s＝4π s.

答案　(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s

二、同轴转动与皮带传动问题

例2　自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图8所示．在自行车正常骑行时，下列说法正确的是(　　)

图8

A．A、B两点的线速度大小相等

B．B、C两点的角速度大小相等

C．A、B两点的角速度与其半径成反比

D．A、B两点的角速度与其半径成正比

解析　大齿轮与小齿轮类似于皮带传动，所以两轮边缘的点A、B的线速度大小相等，A正确；小齿轮与后轮类似于同轴转动，所以B、C的角速度大小相等，B正确．A、B两点的线速度大小相等，由v＝ωr知A、B两点的角速度与半径成反比，C正确，D错误．

答案　ABC

圆周运动　  v＝ωr(＝2πrn，)

1．(对匀速圆周运动的理解)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)

A．匀速圆周运动是变速运动

B．匀速圆周运动的速率不变

C．任意相等时间内通过的位移相等

D．任意相等时间内通过的路程相等

答案　ABD

解析　由线速度定义知，匀速圆周运动的速度大小不变，也就是速率不变，但速度方向时刻改变，故A、B对；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，但位移不一定相等，C错，D对．

2．(圆周运动的各物理量的关系)下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法中，正确的是(　　)

A．若它们的线速度相等，则角速度一定相等

B．若它们的角速度相等，则线速度一定相等

C．若它们的周期相等，则角速度一定相等

D．若它们的周期相等，则线速度一定相等

答案　C

解析　根据v＝ωr可知，在不知半径r的情况下，线速度相等，角速度不一定相等，同理，角速度相等，线速度也不一定相等，A、B错．由于T＝ω(2π)＝v(2πr)，故周期相等，角速度一定相等，线速度不一定相等，C对，D错．

3．(传动问题)如图9所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r₁、r₂、r₃.若甲轮的角速度为ω₁，则丙轮的角速度为(　　)

图9

A.r3(ω1r1)  B.r1(ω1r3)  C.r2(ω1r3)  D.r2(ω1r1)

答案　A

解析　甲、乙、丙之间属于齿轮传动，所以轮子边缘的线速度相等，即v_甲＝v_乙＝v_丙，由v＝ωr得ω₁r₁＝ω₃r₃，所以ω₃＝r3(ω1r1)，故选项A正确．

4．(圆周运动各物理量间的关系)地球半径R＝6 400 km，站在赤道上的人和站在北纬60°上的人随地球转动的角速度分别是多大？他们的线速度分别是多大？

答案　见解析

解析　画出地球自转示意图，如图所示，设赤道上的人站在A点，北纬60°上的人站在B点，地球自转角速度固定不变，A、B两点的角速度相同，有

ω_A＝ω_B＝T(2π)＝24×3 600(2×3.14) rad/s≈7.3×10^－5 rad/s

依题意可知，A、B两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径分别为：R_A＝R，R_B＝Rcos 60°，

则由v＝ωr可知，A、B两点的线速度分别为：

v_A＝ω_AR_A＝7.3×10^－5×6 400×10³ m/s＝467.2 m/s

v_B＝ω_BR_B＝7.3×10^－5×6 400×10³×2(1) m/s＝233.6 m/s

即赤道上和北纬60°上的人随地球转动的角速度都为7.3×10^－5 rad/s，赤道上和北纬60°上的人随地球转动的线速度分别为467.2 m/s和233.6 m/s.

题组一　对匀速圆周运动的理解

1．下列对于匀速圆周运动的说法中，正确的是(　　)

A．线速度不变的运动

B．角速度不变的运动

C．周期不变的运动

D．转速不变的运动

答案　BCD

解析　匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变，线速度时刻在变，故应选B、C、D.

2．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)

A．其角速度与转速成正比，与周期成反比

B．运动的快慢可用线速度描述，也可用角速度来描述

C．匀速圆周运动是匀速运动，因为其速率保持不变

D．做匀速圆周运动的物体，所受合力为零

答案　AB

解析　做匀速圆周运动的物体，其运动的快慢用线速度或角速度描述，转速与角速度的关系是ω＝2πn，周期与角速度的关系是ω＝T(2π)，即角速度与转速成正比，与周期成反比，故A、B正确；匀速圆周运动的速率保持不变，但速度的方向时刻变化，故是非匀速运动，C错误；匀速圆周运动是变速运动，故做匀速圆周运动的物体一定受到合力作用，故D错误．

3．质点做匀速圆周运动，则(　　)

A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等

B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等

C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同

D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等

答案　BD

解析　如图所示，经4(T)，质点由A运动到B，再经4(T)，质点由B运动到C，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs＝v·4(T)，所以相等时间内通过的路程相等，B对．位移x_AB、x_BC大小相等，方向并不相同，故平均速度不同，A、C错．由角速度的定义ω＝Δt(Δφ)知Δt相同，Δφ＝ωΔt相同，D对．

题组二　圆周运动各物理量间的关系

4．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是(　　)

A．线速度大的角速度一定大

B．线速度大的周期一定小

C．角速度大的半径一定小

D．角速度大的周期一定小

答案　D

解析　解决这类题目的方法是：确定哪个量不变，寻找各物理量之间的联系，灵活选取公式进行分析．由v＝ωr知，v越大，ω不一定越大；ω越大，r不一定越小，故A、C均错误；由v＝T(2πr)知，v越大，T不一定越小，B错误；而由ω＝T(2π)可知，ω越大，T越小，故D正确．

5．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是(　　)

A．它们的半径之比为2∶9  B．它们的半径之比为1∶2

C．它们的周期之比为2∶3  D．它们的周期之比为1∶3

答案　AD

解析　由v＝ωr，得r＝ω(v)，r乙(r甲)＝v乙ω甲(v甲ω乙)＝9(2)，A对，B错；由T＝ω(2π)，得T_甲∶T_乙＝ω甲(2π)∶ω乙(2π)＝3(1)，C错，D对．

6．一个电子钟的秒针角速度为(　　)

A．π rad/s  B．2π rad/s

C．π/30 rad/s  D．π/60 rad/s

答案　C

7．假设“神舟十号”实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t₁，结束时刻为t₂，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用(　　)

A．T＝n(t2－t1)  B．T＝n(t1－t2)

C．T＝v(2πr)  D．T＝r(2πv)

答案　AC

解析　由题意可知飞船匀速圆周运动n周所需时间Δt＝t₂－t₁，故其周期T＝n(Δt)＝n(t2－t1)，故选项A正确．由周期公式有T＝v(2πr)，故选项C正确．

8．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速为(　　)

A．1 000 r/s  B．1 000 r/min

C．1 000 r/h  D．2 000 r/s

答案　B

解析　由v＝rω，ω＝2πn得

n＝2πr(v)＝3 600×2×3.14×30×10－2(120×103) r/s≈17.7 r/s≈1 000 r/min.

题组三　同轴转动和皮带传动问题

图1

9．如图1所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)

A．a、b和c三点的线速度大小相等

B．a、b和c三点的角速度相等

C．a、b的角速度比c的大

D．c的线速度比a、b的大

答案　B

解析　a、b和c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对，C错；三点的运动半径关系为r_a＝r_b>r_c，据v＝ωr可知，三点的线速度关系为v_a＝v_b>v_c，A、D错．

图2

10．如图2所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知Oc＝2(1)Oa，则下列说法中错误的是(　　)

A．a、b两点线速度相同

B．a、b、c三点的角速度相同

C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半

D．a、b、c三点的运动周期相同

答案　A

解析　同轴转动的不同点角速度相同，B正确；根据T＝ω(2π)知，a、b、c三点的运动周期相同，D正确；根据v＝ωr可知c点的线速度大小是a点线速度大小的一半，C正确；a、b两点线速度的大小相等，方向不同，A错误．故说法错误的是A.

图3

11．两个小球固定在一根长为1 m的杆的两端，杆绕O点逆时针旋转，如图3所示，当小球A的速度为3 m/s时，小球B的速度为12 m/s.则小球B到转轴O的距离是(　　)

A．0.2 m  B．0.3 m  C．0.6 m  D．0.8 m

答案　D

解析　设小球A、B做圆周运动的半径分别为r₁、r₂，则v₁∶v₂＝ωr₁∶ωr₂＝r₁∶r₂＝1∶4，又因r₁＋r₂＝1 m，所以小球B到转轴O的距离r₂＝0.8 m，D正确．

图4

12．如图4所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r₁，从动轮的半径为r₂.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是(　　)

A．从动轮做顺时针转动  B．从动轮做逆时针转动

C．从动轮的转速为r2(r1)n  D．从动轮的转速为r1(r2)n

答案　BC

解析　主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误．

13．如图5所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是r_A＝r_C＝2r_B.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的(　　)

图5

A．角速度之比为1∶2∶2

B．角速度之比为1∶1∶2

C．线速度之比为1∶2∶2

D．线速度之比为1∶1∶2

答案　AD

解析　A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等．

a、b比较：v_a＝v_b

由v＝ωr得：ω_a∶ω_b＝r_B∶r_A＝1∶2

b、c比较：ω_b＝ω_c

由v＝ωr得：v_b∶v_c＝r_B∶r_C＝1∶2

所以ω_a∶ω_b∶ω_c＝1∶2∶2

v_a∶v_b∶v_c＝1∶1∶2

故A、D正确．

题组四　综合应用

14．某转盘每分钟转45圈，在转盘离转轴0.1 m处有一个小螺帽，求小螺帽做匀速圆周运动的周期、角速度、线速度．

答案　3(4) s　2(3π) rad/s　20(3π) m/s

解析　由周期和转速的关系可求周期

T＝n(1)＝45(60) s＝3(4) s

角速度ω＝Δt(Δφ)＝T(2π)＝2(3π) rad/s

线速度v＝ωr＝20(3π) m/s.

图6

15．如图6所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，恰好在a点与A球相碰，求：

(1)B球抛出时的水平初速度；

(2)A球运动的线速度的最小值．

答案　(1)R 2h(g)　(2)2πR 2h(g)

解析　(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v₀t①

在竖直方向上做自由落体运动，则h＝2(1)gt²②

由①②得v₀＝t(R)＝R 2h(g).

(2)设相碰时，A球转了n圈，则A球的线速度

v_A＝T(2πR)＝t/n(2πR)＝2πRn 2h(g)

当n＝1时，其线速度有最小值，即

v_min＝2πR 2h(g).