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作品标题

利用几何画板探索反比例函数的性质

所属学科

初中数学

适用年级

九年级下册

对应教材

　　新人教版

覆盖范围

□单元　　　RR课       　   其他                     

所需时间 

说明：实施此教案所需的时间，如：45分钟，4课时，1年等等。

45分钟

概述（说明：在这里简要地描述教学目标、实施过程、成果要求等内容）

本节课选自人教版反比例函数《信息技术应用选学栏目》——探索反比例函数的性质。在教学中，利用几何画板将反比例函数的数量关系直观化、形象化的表现出来，把问题化静为动、有助于解决函数教学中的一些困难。通过设置问题，引导学生观察猜想，让学生通过数学实验能够找到反比例函数图象的对称变换与点的对称变换存在某种必然联系，通过研究点的对称变换的结论可以猜想反函数图象的对称变换规律，并在此基础上研究曲线的变换与k的变化之间的联系，经过类比可以探索中心对称变换的规律。

本节课的实施加深了学生对反比例函数的认识，扩大学生的知识面，对培养学生的主动探究和合作交流有重大的指导意义。经过学生的亲身实践，不仅可以体验数学过程，还能提高学习数学的信息和兴趣。本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。

涉及学科(在相关学科复选框内打勾)

说明：本教案所涉及的学科领域，建议不要超过四门学科。

□ 思想品德

□ 音乐 

□ 化学

   信息技术

□ 劳动与技术

   语文

□ 美术 

□ 生物 

   研究性学习

□ 其他

R 数学

□ 外语

□ 历史

□ 社区服务

□ 体育 

□ 物理 

□ 地理

□ 社会实践

学习目标与课程标准：

说明：清楚地描述你希望学生在经过本阶段的学习后所能达到的具体目标及相对应的课程标准。

知识与技能目标：经历探索由反比例函数图像观察归纳反比例函数性质的过程，掌握并应用性质解决问题。

过程与方法目标：经历观察、猜想、实验、归纳、推理、交流等数学活动过程，

使学生体会和学会探索问题的一般方法，同时渗透数形结合、数学建模、类比和分类讨论数学思想。

情感态度价值观目标：通过数学实验、自主探究和合作交流，增强团队意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质，体验成功的喜悦。

过程(教学或学习过程)

说明：在这一部分，清晰地描述你的教学步骤以及相应的活动序列。请注意体现教学活动与框架问题的针对性并说明各活动所需的具体资源及环境。在用到自己制作的文档时，请注明文件名并设置相应链接。

教学过程

老师活动

学生活动

信息技术手段

创设情境、引入新课

教师提出问题：

一个游泳池的容积为2000立方米，游泳池注满水所用的时间t(分钟)随注水速度v（立方米/小时）的变化而变化，t与v的关系是什么？

教师引导学生回忆反比例函数的定义。

通过提出实际问题，学生列出函数解析式，从而复习反比例函数的定义。用解析法表示函数，自然引出用图像法研究函数的必要性，为下面的探究反比例函数性质作铺垫。

PPT展示图片

实验

探究

发现

新知

实验探究一：反比例函数的图像和性质。

（环节一）提出研究问题：的图像特征和函数性质。

引导学生通过几何画板软件自主选择函数，观察猜想归纳图像特征和函数性质，并验证自己的猜想。

（环节二）教师再结合学生的探究实验，配合动态演示，让学生看到的变化对双曲线的影响。进一步引导学生用准确的数学语言概括性质。

（环节三）引导学生证明函数的增减性（难点）

先绘制图象，观察得出猜想，再去验证，最后去证明函数的增减性。

以k>0为例：设0<，则：，，所以：，所以：

（环节四）得出结论：反比例函数反比例函数的图象反比例函数的图象是由两个分支组成的，而且都是曲线,反比例函数的图象与x、y轴没有交点；图象的两个分支被坐标轴隔开，它们可以无限地靠近x、y轴，但是永远不能与x、y轴有交点。

教师引导学生得出：k的正负决定双曲线的分布象限。

这一环节要留给学生充分探究实验的时间与空间，让学生在实验的过程中体会如何用改变K值的方法来研究函数的图像和性质。渗透科学实验的方法——控制变量法。

实验探究二：反比例函数的图像的对称性。

（环节一）提出探究问题：反比例函数的图像从对称性上看有什么特征？（展示课件）

（环节二）让学生猜测反比例函数的对称性（双曲线是轴对称图形也是中心对称图形）

（环节三）学生自主探究与展示交流，引导学生自主探究，从无序实验到有序探索，都是在学生小组讨论研究后得出的（按实验报告内容进行操作）教师结合学生的探究实验，配合动态演示，进一步引导学生用准确的数学语言概括性质。

（环节四）得出结论：反比例函数y=k/x（k，为常数，k≠0）图像的对称性质的性质：

1、双曲线y=(k≠o)是关于直线y=x和y=-x成轴对称的。

2、双曲线y=(k≠o)是关于坐标原点成中心对称。

学生探究后，教师及时给予点拨指导，并用课件配合动态演示反比例函数的图像的对称性（与k值得正负无关）。

实验探究三：探究对双曲线在坐标系中位置的影响以及形状的影响。

（环节一）提出研究问题：函数的图像在坐标系中位置以及形状与k有什么关系？

（环节二）根据之前做的探究，猜测k对双曲线在坐标系中位置的影响以及形状的影响。

（环节三）学生小组讨论研究后得出的（按实验报告内容进行操作）。引导学生通过几何画板软件自主选择函数进行探究。，

（环节四）教师再结合学生的探究实验，配合动态演示，让学生看到的变化对双曲线在坐标系中位置以及形状的影响。进一步引导学生用准确的数学语言概括性质。

（环节五）得出结论：

1、反比例函数y=(k≠o)当越大时，双曲线y=(k≠o)离坐标原点越远，当越小时，双曲线y=(k≠o)离坐标原点越近 。

2、随着增大时，函数图象的弯曲度变小，曲线越来越平直。

给学生留有足够的时间与空间进行实验探索，让学生自己发现错误、自行纠错，力求使学生在充分的思维冲突中，强化对性质的理解和把握，学会研究问题的方法。

教学方式：自主探索——组内交流——师生共同探讨。

研究反比例函数从绘图开始，渗透从简单到复杂，从特殊到一般，从生动到抽象的研究过程。

环节一目的是引导学生体会参数也就是比例系数K的作用，为学生自主探究改变不同的K值，画出图像进行探究作铺垫。

让学生经历一个完整的数学实验过程：观察、猜想—验证—归纳——证明，从而得出反比例函数的性质，渗透实验探究的方法。

引导学生概括图像与性质时，从两个方面分类思考，渗透数形结合思想。

让学生学会分类讨论和数形结合思想。

提问反比例函数的一般形式，目的是启发引导学生思考参数k的作用，为探究双曲线对称性与k值得正负无关做一个区别。

教师给出研究问题的方法，让学生先讨论交流，教师再启发引导，在学生充分体验的过程中，让学生感悟体验问题的解决方法。

教学生学会观察图形、分析图形、获得信息和应用图像解决问题的能力。

所有知识的获得，都是通过学生自主探究，合作交流得到的。

让学生学会分类讨论和数形结合思想。

学生在自己动手操作几何画板的基础上完成观察猜想。

思维

升华

应用

新知

1、用抢答的形式选题解答。备选习题如下（视课上的时间决定做几道题）

下列函数中

①         ②        ③

④        ⑤

y随着x值的增大而增大的函数有                   

y随着x值的增大而减小的函数有                   

2、函数y=(k＞0)的图象上，有两点A（3，a）和B（4，b），则A点和B点关于直线y=x对称，则a=       b=      。

3、函数y=(k＜0)的图象上，A点与B点关于坐标原点对称，如果A的坐标是（-2，3），那么B点的坐标（      ,      ）

4、如图所示，是三个反比例函数的图像，那么k1、k2、k3大

小关系是              。

设置由浅入深的系列分层练习，进一步帮助学生理解建构反比例函数的性质及其应用。

PPT展示。

总结

收获

反思

提高

提出问题：谈谈本节课的收获和体会？

学生发言，互相补充，教师点评完善。

呼应复习引入，培养学生反思的习惯。

作业

布置

巩固

落实

实验报告

整理、完善实验报告，既是对本节课知识的有效巩固，又是对课堂知识的自然延伸，让学生带着问题进课堂，又带着问题出课堂。

所需资源

几何画板动画演示

说明：在这一部分介绍可以用于帮助学生完成学习任务的材料或参考网址（建议在每个网址后写上一句话，简要介绍该网站适用于本教案的内容）

印刷材料

参考网址

无

其他

评价方法或工具

说明：说明在本教案的实施过程中将用到哪些评价工具，如何评价，以及目的是什么。请注明这些评价工具对应的文件名并设置相应链接。

对学习过程或活动

以小组为单位记录每位学生的活动情况

对学习成果

在检测环节记录学生的成绩，课后统计在excel表格中；以后每一节课都做好相应记录，最后形成孩子的成绩动态折线图

其他评价

作品标题

利用几何画板探索反比例函数的性质

所属学科

初中数学

适用年级

九年级下册

对应教材

　　新人教版

覆盖范围

□单元　　　RR课       　   其他                     

所需时间 

说明：实施此教案所需的时间，如：45分钟，4课时，1年等等。

45分钟

概述（说明：在这里简要地描述教学目标、实施过程、成果要求等内容）

本节课选自人教版反比例函数《信息技术应用选学栏目》——探索反比例函数的性质。在教学中，利用几何画板将反比例函数的数量关系直观化、形象化的表现出来，把问题化静为动、有助于解决函数教学中的一些困难。通过设置问题，引导学生观察猜想，让学生通过数学实验能够找到反比例函数图象的对称变换与点的对称变换存在某种必然联系，通过研究点的对称变换的结论可以猜想反函数图象的对称变换规律，并在此基础上研究曲线的变换与k的变化之间的联系，经过类比可以探索中心对称变换的规律。

本节课的实施加深了学生对反比例函数的认识，扩大学生的知识面，对培养学生的主动探究和合作交流有重大的指导意义。经过学生的亲身实践，不仅可以体验数学过程，还能提高学习数学的信息和兴趣。本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。

涉及学科(在相关学科复选框内打勾)

说明：本教案所涉及的学科领域，建议不要超过四门学科。

□ 思想品德

□ 音乐 

□ 化学

   信息技术

□ 劳动与技术

   语文

□ 美术 

□ 生物 

   研究性学习

□ 其他

R 数学

□ 外语

□ 历史

□ 社区服务

□ 体育 

□ 物理 

□ 地理

□ 社会实践

学习目标与课程标准：

说明：清楚地描述你希望学生在经过本阶段的学习后所能达到的具体目标及相对应的课程标准。

知识与技能目标：经历探索由反比例函数图像观察归纳反比例函数性质的过程，掌握并应用性质解决问题。

过程与方法目标：经历观察、猜想、实验、归纳、推理、交流等数学活动过程，

使学生体会和学会探索问题的一般方法，同时渗透数形结合、数学建模、类比和分类讨论数学思想。

情感态度价值观目标：通过数学实验、自主探究和合作交流，增强团队意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质，体验成功的喜悦。

过程(教学或学习过程)

说明：在这一部分，清晰地描述你的教学步骤以及相应的活动序列。请注意体现教学活动与框架问题的针对性并说明各活动所需的具体资源及环境。在用到自己制作的文档时，请注明文件名并设置相应链接。

教学过程

老师活动

学生活动

信息技术手段

创设情境、引入新课

教师提出问题：

一个游泳池的容积为2000立方米，游泳池注满水所用的时间t(分钟)随注水速度v（立方米/小时）的变化而变化，t与v的关系是什么？

教师引导学生回忆反比例函数的定义。

通过提出实际问题，学生列出函数解析式，从而复习反比例函数的定义。用解析法表示函数，自然引出用图像法研究函数的必要性，为下面的探究反比例函数性质作铺垫。

PPT展示图片

实验

探究

发现

新知

实验探究一：反比例函数的图像和性质。

（环节一）提出研究问题：的图像特征和函数性质。

引导学生通过几何画板软件自主选择函数，观察猜想归纳图像特征和函数性质，并验证自己的猜想。

（环节二）教师再结合学生的探究实验，配合动态演示，让学生看到的变化对双曲线的影响。进一步引导学生用准确的数学语言概括性质。

（环节三）引导学生证明函数的增减性（难点）

先绘制图象，观察得出猜想，再去验证，最后去证明函数的增减性。

以k>0为例：设0<，则：，，所以：，所以：

（环节四）得出结论：反比例函数反比例函数的图象反比例函数的图象是由两个分支组成的，而且都是曲线,反比例函数的图象与x、y轴没有交点；图象的两个分支被坐标轴隔开，它们可以无限地靠近x、y轴，但是永远不能与x、y轴有交点。

教师引导学生得出：k的正负决定双曲线的分布象限。

这一环节要留给学生充分探究实验的时间与空间，让学生在实验的过程中体会如何用改变K值的方法来研究函数的图像和性质。渗透科学实验的方法——控制变量法。

实验探究二：反比例函数的图像的对称性。

（环节一）提出探究问题：反比例函数的图像从对称性上看有什么特征？（展示课件）

（环节二）让学生猜测反比例函数的对称性（双曲线是轴对称图形也是中心对称图形）

（环节三）学生自主探究与展示交流，引导学生自主探究，从无序实验到有序探索，都是在学生小组讨论研究后得出的（按实验报告内容进行操作）教师结合学生的探究实验，配合动态演示，进一步引导学生用准确的数学语言概括性质。

（环节四）得出结论：反比例函数y=k/x（k，为常数，k≠0）图像的对称性质的性质：

1、双曲线y=(k≠o)是关于直线y=x和y=-x成轴对称的。

2、双曲线y=(k≠o)是关于坐标原点成中心对称。

学生探究后，教师及时给予点拨指导，并用课件配合动态演示反比例函数的图像的对称性（与k值得正负无关）。

实验探究三：探究对双曲线在坐标系中位置的影响以及形状的影响。

（环节一）提出研究问题：函数的图像在坐标系中位置以及形状与k有什么关系？

（环节二）根据之前做的探究，猜测k对双曲线在坐标系中位置的影响以及形状的影响。

（环节三）学生小组讨论研究后得出的（按实验报告内容进行操作）。引导学生通过几何画板软件自主选择函数进行探究。，

（环节四）教师再结合学生的探究实验，配合动态演示，让学生看到的变化对双曲线在坐标系中位置以及形状的影响。进一步引导学生用准确的数学语言概括性质。

（环节五）得出结论：

1、反比例函数y=(k≠o)当越大时，双曲线y=(k≠o)离坐标原点越远，当越小时，双曲线y=(k≠o)离坐标原点越近 。

2、随着增大时，函数图象的弯曲度变小，曲线越来越平直。

给学生留有足够的时间与空间进行实验探索，让学生自己发现错误、自行纠错，力求使学生在充分的思维冲突中，强化对性质的理解和把握，学会研究问题的方法。

教学方式：自主探索——组内交流——师生共同探讨。

研究反比例函数从绘图开始，渗透从简单到复杂，从特殊到一般，从生动到抽象的研究过程。

环节一目的是引导学生体会参数也就是比例系数K的作用，为学生自主探究改变不同的K值，画出图像进行探究作铺垫。

让学生经历一个完整的数学实验过程：观察、猜想—验证—归纳——证明，从而得出反比例函数的性质，渗透实验探究的方法。

引导学生概括图像与性质时，从两个方面分类思考，渗透数形结合思想。

让学生学会分类讨论和数形结合思想。

提问反比例函数的一般形式，目的是启发引导学生思考参数k的作用，为探究双曲线对称性与k值得正负无关做一个区别。

教师给出研究问题的方法，让学生先讨论交流，教师再启发引导，在学生充分体验的过程中，让学生感悟体验问题的解决方法。

教学生学会观察图形、分析图形、获得信息和应用图像解决问题的能力。

所有知识的获得，都是通过学生自主探究，合作交流得到的。

让学生学会分类讨论和数形结合思想。

学生在自己动手操作几何画板的基础上完成观察猜想。

思维

升华

应用

新知

1、用抢答的形式选题解答。备选习题如下（视课上的时间决定做几道题）

下列函数中

①         ②        ③

④        ⑤

y随着x值的增大而增大的函数有                   

y随着x值的增大而减小的函数有                   

2、函数y=(k＞0)的图象上，有两点A（3，a）和B（4，b），则A点和B点关于直线y=x对称，则a=       b=      。

3、函数y=(k＜0)的图象上，A点与B点关于坐标原点对称，如果A的坐标是（-2，3），那么B点的坐标（      ,      ）

4、如图所示，是三个反比例函数的图像，那么k1、k2、k3大

小关系是              。

设置由浅入深的系列分层练习，进一步帮助学生理解建构反比例函数的性质及其应用。

PPT展示。

总结

收获

反思

提高

提出问题：谈谈本节课的收获和体会？

学生发言，互相补充，教师点评完善。

呼应复习引入，培养学生反思的习惯。

作业

布置

巩固

落实

实验报告

整理、完善实验报告，既是对本节课知识的有效巩固，又是对课堂知识的自然延伸，让学生带着问题进课堂，又带着问题出课堂。

所需资源

几何画板动画演示

说明：在这一部分介绍可以用于帮助学生完成学习任务的材料或参考网址（建议在每个网址后写上一句话，简要介绍该网站适用于本教案的内容）

印刷材料

参考网址

无

其他

评价方法或工具

说明：说明在本教案的实施过程中将用到哪些评价工具，如何评价，以及目的是什么。请注明这些评价工具对应的文件名并设置相应链接。

对学习过程或活动

以小组为单位记录每位学生的活动情况

对学习成果

在检测环节记录学生的成绩，课后统计在excel表格中；以后每一节课都做好相应记录，最后形成孩子的成绩动态折线图

其他评价