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一、选择题(每小题3分，共30分)

1．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．       C．     D． 

2．当0＜x＜1时，x²、x、的大小顺序是（　　）

A．x²B．＜x＜x²C．＜x D．x＜x²＜

3．下列计算正确的是(    )

A．a²·a＝a²         B．a²÷a＝a          C．a²＋a＝a³       D．a²－a＝a

4．根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47 000 000吨．将47 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．0.47×10⁸ B．4.7×10⁷ C．47×10⁷ D．4.7×10⁶

5．线段EF是由线段PQ平移得到的，点P(－1，4)的对应点为E(4，7)，则点Q(－3，1)的对应点F的坐标为(    )

A．(－8，－2)            B．(－2，－2)

C．(2，4)                D．(－6，－1)

6．如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

7．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居城市，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下：

则该班学生成绩的众数和中位数分别是(    )

A．70分，80分     B．80分，80分    C．90分，80分     D．80分，90分

8．已知⊙O的直径是16cm，点O到同一平面内直线的距离为9cm，则直线与⊙O的位置关系是（　　）

   A．相交       B．相切       C．相离      D．无法判断

9．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y₁=和y₂=的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S_△BEF=3S_△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　）

　 A．①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①②③④

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．分解因式：a²b－4b³＝__       __．

12．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为5(1)，那么口袋中球的总个数为__    __．

13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为__ __．

14．如图，在□ABCD中，E在AB上，CE，BD交于F，若AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，则DF＝____．

15．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发所行的时间，y₁表示乌龟所行的路程，y₂表示兔子所行的路程)．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是__   __．(把你认为正确说法的序号都填上)

16．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm²，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为         ．

三、解答下列各题（共72分）

17．(6分)计算：计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）^﹣1+（π﹣2017）⁰

18．(6分) 某校在全校学生中开展了以“中国梦•我的梦”为主题的征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖．小明同学根据获奖结果，绘制成如图所示的统计表和统计图．

请你根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）a=      ，b=      ，n=       ．

（2）学校决定在获得一等奖的作者中，随机推荐两名作者代表学校参加市级比赛，其中王梦、李刚都获得一等奖，请用列举法求恰好选中这二人的概率．

19．(7分) 解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？”

题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48．问甲、乙两人各带了多少钱？

20．(7分) 如图，在RT△ABC中，∠C=90°,点D在边AB上， 线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处.如果求与满足的关系.

21．(7分) 如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．

22．(8分) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．

（1）若S_△AOC=，求DE的长；

（2）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

23．(9分)受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y₁（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：

8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y₂（元）与月份x的函数关系式为y₂=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．

（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y₁与x的函数关系式．

（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p₁（万件）与月份x满足关系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p₂（万件）与月份x满足关系式p₂=－0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．

24．（10分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．

25、（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．

答案解析

1-10：CABBC  DBCAB

11.b(a+2b)(a-2b)    12.15    13.     14.     15.①③④  16.y=-3x+18

17.解：4sin60°+|3﹣|﹣（）^﹣1+（π﹣2016）⁰

=4×+2﹣3﹣2+1

=2+2﹣4

=4﹣4

21.解：如图，过点C作CH⊥AB于H，则△BCH是等腰直角三角形．设CH＝x，

则BH＝x，AH＝CH÷30°＝x．∵AB＝200，∴x＋x＝200．

∴x＝＝100(－1)．

∴BC＝x＝100(－)．

∵两船行驶4小时相遇，

∴可疑船只航行的平均速度＝100(－)÷4＝25(－)．

答：可疑船只航行的平均速度是每小时25(－)海里

22.（1）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，

∴∠CAF=30°，

∴∠CAF=∠AFC，

∴AC=CF

∴OC=CF，

∵S_△AOC=，

∴S_△ACF=，

∵∠ABC=∠AFC=30°，

∴AB=AF，

∵AB=BD，

∴AF=BD，

∴∠BAE=∠BEA=30°，

∴AB=BE=AF，

∴=，

∵△ACF∽△DAE，

∴=（）²=，

∴S_△DAE=，

过A作AH⊥DE于H，

∴AH=DH=DE，

∴S_△ADE=DE•AH=וDE²=，

∴DE=；

（2）∵∠EOF=∠AOB=120°，

在△AOF与△BOE中，，

∴△AOF≌△BEO，

∴OE=OF，

∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，

∴∠AFO=∠GFO，

过O作OG⊥EF于G，

∴∠OAF=∠OGF=90°，

在△AOF与△OGF中，，

∴△AOF≌△GOF，

∴OG=OA，

∴EF是⊙O的切线．

23.解：（1）由表格中数据可猜测，y₁是x的一次函数．
设y₁=kx+b   
 则 

 
解得： 

 
∴y₁=2x+54，
经检验其它各点都符合该解析式，
∴y₁=2x+54（1≤x≤7，且x为整数）．

（2）设去年第x月的利润为w万元．
当1≤x≤7，且x为整数时，
w=p₁（100-8-y₁）=（0.1x+1.1）（92-2x-54）=-0.2x²+1.6x+41.8=-0.2（x-4）²+45，
∴当x=4时，w_最大=45万元；                         
当8≤x≤12，且x为整数时，
w=p₂（100-8-y₂）=（-0.1x+3）（92-x-62）=0.1x²-6x+90=0.1（x-30）²，
∴当x=8时，w_最大=48.4万元．
∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元．

24.（1）证明：如图1中，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC，

∴BD=CE．

（2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE==，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴=，

∴=，

∴PB=

b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE==，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴=，

∴=，

∴PB=，

综上，PB=或．

②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，

∵AE⊥EC，

∴EC===，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD﹣PD=﹣1．

b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最，大，因此PB最大，

∵AE⊥EC，

∴EC===，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD+PD=+1．

综上所述，PB长的最小值是﹣1，最大值是+1．

25. 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，），

∴设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）（x+1）1），

则=a×（﹣5）×1，解得a=﹣．

则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣x²+2x+；

（2）存在．

当点A为直角顶点时，过A作AP⊥AC交抛物线于点P，交y轴于点H，如图．

∵AC⊥AP，OC⊥OA，

∴△OAC∽△OHA，

∴=，

∴OA²=OC•OH，

∵OA=5，OC=，

∴OH=10，

∴H（0，﹣10），A（5，0），

∴直线AP的解析式为y=2x﹣10，

联立，

∴P的坐标是（﹣5，﹣20）．

（3）∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，

∴四边形OFDE为矩形，

∴EF=OD，

∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，

当OD⊥AC时，OD长度最小，

此时S_△AOC=AC•OD=OA•OC，

∵A（5，0），C（0，），

∴AC=，

∴OD=，

∵DE⊥y轴，OD⊥AC，

∴△ODE∽△OCD，

∴=，

∴OD²=OE•CO，

∵CO=，OD=，

∴OE=2，

∴点G的纵坐标为2，

∴y=﹣x²+2x+=2，

解得x₁=2﹣，x₂=2+，

∴点G的坐标为（2﹣，2）或（2+，2）．

24．(10分) 如图，在中，，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE 方向运动，过点P作，过点Q作，交AC于点R，当点Q与点C重合时，点P停止运动。设BQ = ，QR =。

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求关于的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.         

25.（2016年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴与轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；                                        （3分）

（2）设点P为抛物线（）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；                    （2分）

（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．               （3分）